AntiDemidóvich. Matemática superior. Problemas resueltos. by Demidóvich PDF

By Demidóvich

ISBN-10: 5836004552

ISBN-13: 9785836004552

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Dado que Ia curva 'Y es cerrada, j=l entonces In if{tp{{J)) i = In if(tp(a))i . Tomando este hecho en consideracion y aplicando Ia formula de Newton-Leibniz (v. formula {1), p. 2, cap. 1, t. 6), obtenemos L Pi= P, su numero de palos en D. Entonces 27ri ~ Ia funcion j -dz=N-P. f'( z) f( z) {1) DD J f'(z) dz f(z) = ~{{J)- ~(a)= OD La integral del primer miembro de esta igualdad se denomina residuo logaritmico de Ia fimcioll f respecto a aD y Ia propia igualdad expresa el sentido del siguiente teorema del residua logaritmico.

P~ rE;S 7T f(z) ctg 7Tz = J = l:::res7Tj(z) ctg7Tz+ 2::: f(j) . k = l •• j=-P.. { ak ; k = 1, n} entre los cuales no hay numeros ente~os. Sea (/m) una sucesi6n de curvas cerradas de Jordan que abarcan 6 )3<. }8 Pasando en esta igualdad a! limite cuando m -+ oo y tomando en consideracion (1), llegamos a la formula (3). La formula (4) se obtiene amllogamente, utilizando (2) 7r f(z) · y teniendo en cuenta que res - - = (- 1)1 f(j) . Notese que i sen 1rz las condiciones (1) y (2) se cumple n si f( z) = O(z 2 ) para z -+ oo y {m z2 = ~ C-a - J a2 + b2) .

Arg f es cl numero de vueltas completas que da el vector f (z ) alrededor del punto w = 0 cuando z recorre Ia curva orientada positivamente aD una vez en el sentido contrario a! de las agujas del reloj. Por tanto, el principio del argumento se puede enunciar de otra forma, a saber: Principio del argumento (enunciado alternativo). Sen D @ C una region cuyn fronlern 7 es 1111n cmvn de jordan. Si In j1111cion f es mrnliticn en I5, salvo en 1111 mimero finito de palos locnlizndos en D, y In j1mcion f no se mruln en In frontern de Ia region D, entonces Ia diferencia N - P es igunl nl mimero de vue/Ins camp/etas que da el vector w = f alrededor del punta w = 0 cum1do z recorre 1111n sola vez Ia fronlern de Ia region D en sentido positivo.

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by Kenneth
4.2

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